l’axiome du choix

L’axiome du choix a de nombreuses conséquences en mathématiques, dont
certaines paraissent pathologiques. L’exemple le plus connu est sans doute
l’existence de parties non Lebesgue-mesurables dans R. Certains mathématiciens
refusent de ce fait l’axiome du choix ; notons tout de même que, contrairement
à une idée reçue, celui-ci n’est pas équivalent à l’existence de parties
non Lebesgue-mesurables ; autrement dit, supposer que toute partie de R
est Lebesgue-mesurable est plus fort que supposer que l’axiome du choix est
faux. Il en va de même du paradoxe de Banach-Tarski : c’est une conséquence
de l’axiome du choix qui ne lui est pas équivalente.
Par ailleurs, l’axiome du choix a de nombreuses conséquences qui, elles, paraissent
très utiles : théorème de la base incomplète ou lemme de Krull pour
les algébristes, théorème de Tychonov pour les analystes... Et bien sûr on
a vu que la théorie des ensembles devient très vite très compliquée vi si on
n’a pas l’axiome du choix, puisqu’il est déjà difficile de compter le nombre
d’éléments d’un ensemble quelconque. Un autre exemple de difficulté liée à
l’absence de l’axiome du choix se trouve dans l’exercice suivant.
Exercice : Montrer que l’axiome du choix est équivalent à l’énoncé
suivant : si X, Y sont deux ensembles et f : X → Y est une surjection, alors
il existe g : Y → X telle que f(g(y)) = y pour tout y ∈ Y .

Les axiomes de ZF

 Un modèle de ZF ou encore un univers est un ensemble non vide (dans un sens intuitif) que l'on va appeler U muni d'une relation binaire véri ant certains axiomes que l'on va lister. Rappelons dans un premier temps, qu'une relation binaire sur U est simplement une partie de U × U ,   autrement dit pour tout couple (x, y) d'éléments de U ,  on est capable de dire si x est en relation avec y, ou si ce n'est pas le cas. Attention, l'ordre ici est important, la relation n'est pas du tout supposée symétrique. Une façon de représenter une relation binaire est de placer une èche orientée entre x et y lorsqu'ils sont en relation dans cet ordre.

  Les éléments de U vont être ce que l'on appelle les ensembles et le fait que x soit en relation avec y se notera  x ∈ y (lire x appartient à y). Il faut faire attention au fait que le mot ensemble est à ce stade  très ambigu. Par la suite, lorsque nous l'emploierons,  il désignera toujours (sauf mention expresse du contraire) un élément de l'univers U .

^{Disons  nalement que si A est un ensemble (donc un élément de U ), un élément de A sera simplement}

^{un ensemble x tel que x ∈ A. Il est temps maintenant de donner les axiomes que doit véri er la relation
d'appartenance donnée sur U .}

  On utilisera l'abréviation A ⊂ B pour  ∀x(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B) . On dira dans ce cas que A est un sous-ensemble (ou une partie) de B.

  Remarquons aussi que par convention, tous les quanti cateurs portent sur tous les ensembles.  On utilisera aussi ce que l'on appelle  des quanti cateurs  bornés, cela veut dire que l'on se permettra encore les abréviations suivantes :

^{∀x ∈ A, [...]   −→ ∀x(x ∈ A) ⇒ [...]}

                                                ^{∃x ∈ A, [...]   −→ ∃x(x ∈ A) et [...]}

Présentation de la théorie des ensembles

il s'agit de formaliser les ensembles.  La formalisation classique, que l'on appelle ZF (pour théorie de Zermelo-Fraenkel), est celle que nous allons présenter. Pour se mettre dans l'esprit de ZF, il faut oublier la description des ensembles tels des patates qui contiennent des points. Dans ZF, il n'y a pas de typage, il n'y a pas non plus de distinction  entre ensemble et élément. Plus précisément dans ZF, tout  est ensemble. En particulier, les éléments d'un ensemble sont encore des ensembles  qui ont à leur tour des éléments qui sont encore   des ensembles, etc. Ce point de vue a priori un peu barbare permet en fait d'écrire les choses de façon simple. Paradoxalement, la bonne façon de se représenter ces ensembles ne passe pas par des patates incluses  les unes dans  les autres, mais plutôt par une grosse patate que l'on appelle l'univers et dont les éléments sont précisément les ensembles,  ces ensembles étant reliés par  des èches orientées qui indiquent l'appartenance. Informellement, l'univers représente l'ensemble de tous les ensembles mais celui-ci n'en est pas un au sens où il ne correspondra à aucun point dans la grosse patate.

L'injection , la surjection et la bijection D'une Application

Définition de l'Injection : On dit que l’application f de A vers B est injective (est une injection), lorsque tout élément de B possède au plus un antécédent dans A par f.

Définition  de la Surjection : On dit que f : A vers B est surjective, lorsque tout élément de B possède au moins un antécédent par f.

Définition de la Bijection : On dit que f : A vers B est bijective, lorsque f est à la  fois injective et surjective.