Présentation de la théorie des ensembles

il s'agit de formaliser les ensembles.  La formalisation classique, que l'on appelle ZF (pour théorie de Zermelo-Fraenkel), est celle que nous allons présenter. Pour se mettre dans l'esprit de ZF, il faut oublier la description des ensembles tels des patates qui contiennent des points. Dans ZF, il n'y a pas de typage, il n'y a pas non plus de distinction  entre ensemble et élément. Plus précisément dans ZF, tout  est ensemble. En particulier, les éléments d'un ensemble sont encore des ensembles  qui ont à leur tour des éléments qui sont encore   des ensembles, etc. Ce point de vue a priori un peu barbare permet en fait d'écrire les choses de façon simple. Paradoxalement, la bonne façon de se représenter ces ensembles ne passe pas par des patates incluses  les unes dans  les autres, mais plutôt par une grosse patate que l'on appelle l'univers et dont les éléments sont précisément les ensembles,  ces ensembles étant reliés par  des èches orientées qui indiquent l'appartenance. Informellement, l'univers représente l'ensemble de tous les ensembles mais celui-ci n'en est pas un au sens où il ne correspondra à aucun point dans la grosse patate.