l’axiome du choix

L’axiome du choix a de nombreuses conséquences en mathématiques, dont
certaines paraissent pathologiques. L’exemple le plus connu est sans doute
l’existence de parties non Lebesgue-mesurables dans R. Certains mathématiciens
refusent de ce fait l’axiome du choix ; notons tout de même que, contrairement
à une idée reçue, celui-ci n’est pas équivalent à l’existence de parties
non Lebesgue-mesurables ; autrement dit, supposer que toute partie de R
est Lebesgue-mesurable est plus fort que supposer que l’axiome du choix est
faux. Il en va de même du paradoxe de Banach-Tarski : c’est une conséquence
de l’axiome du choix qui ne lui est pas équivalente.
Par ailleurs, l’axiome du choix a de nombreuses conséquences qui, elles, paraissent
très utiles : théorème de la base incomplète ou lemme de Krull pour
les algébristes, théorème de Tychonov pour les analystes... Et bien sûr on
a vu que la théorie des ensembles devient très vite très compliquée vi si on
n’a pas l’axiome du choix, puisqu’il est déjà difficile de compter le nombre
d’éléments d’un ensemble quelconque. Un autre exemple de difficulté liée à
l’absence de l’axiome du choix se trouve dans l’exercice suivant.
Exercice : Montrer que l’axiome du choix est équivalent à l’énoncé
suivant : si X, Y sont deux ensembles et f : X → Y est une surjection, alors
il existe g : Y → X telle que f(g(y)) = y pour tout y ∈ Y .