Les axiomes de ZF

 Un modèle de ZF ou encore un univers est un ensemble non vide (dans un sens intuitif) que l'on va appeler U muni d'une relation binaire véri ant certains axiomes que l'on va lister. Rappelons dans un premier temps, qu'une relation binaire sur U est simplement une partie de U × U ,   autrement dit pour tout couple (x, y) d'éléments de U ,  on est capable de dire si x est en relation avec y, ou si ce n'est pas le cas. Attention, l'ordre ici est important, la relation n'est pas du tout supposée symétrique. Une façon de représenter une relation binaire est de placer une èche orientée entre x et y lorsqu'ils sont en relation dans cet ordre.

  Les éléments de U vont être ce que l'on appelle les ensembles et le fait que x soit en relation avec y se notera  x ∈ y (lire x appartient à y). Il faut faire attention au fait que le mot ensemble est à ce stade  très ambigu. Par la suite, lorsque nous l'emploierons,  il désignera toujours (sauf mention expresse du contraire) un élément de l'univers U .

^{Disons  nalement que si A est un ensemble (donc un élément de U ), un élément de A sera simplement}

^{un ensemble x tel que x ∈ A. Il est temps maintenant de donner les axiomes que doit véri er la relation
d'appartenance donnée sur U .}

  On utilisera l'abréviation A ⊂ B pour  ∀x(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B) . On dira dans ce cas que A est un sous-ensemble (ou une partie) de B.

  Remarquons aussi que par convention, tous les quanti cateurs portent sur tous les ensembles.  On utilisera aussi ce que l'on appelle  des quanti cateurs  bornés, cela veut dire que l'on se permettra encore les abréviations suivantes :

^{∀x ∈ A, [...]   −→ ∀x(x ∈ A) ⇒ [...]}

                                                ^{∃x ∈ A, [...]   −→ ∃x(x ∈ A) et [...]}